Arjen Bergsma werd op 21 maart 1989 geboren. Hij begon met voetballen bij VV Read Swart en maakte op jonge leeftijd de overstap naar de jeugdopleiding van SC Heerenveen. Als centrale verdediger doorliep hij de jeugdelftallen van de club en speelde hij vier interlands voor Oranje Onder 17.
In de zomer van 2008 werd Bergsma opgenomen in de selectie van het eerste elftal van SC Heerenveen. Een seizoen later werd hij verhuurd aan FC Emmen om ervaring op te doen in het betaald voetbal. Na afloop van die huurperiode keerde hij terug naar Heerenveen.
In 2010 maakte Bergsma de overstap naar Harkemase Boys. Vier seizoenen later vervolgde hij zijn loopbaan bij Flevo Boys. In 2016 sloot hij zich aan bij VV Gorredijk, waar hij tot het einde van het seizoen 2022-2023 actief bleef. Daarna beëindigde hij zijn spelersloopbaan.
De voetballoopbaan van Arjen Bergsma laat een route zien van het Friese amateurvoetbal naar de jeugdopleiding van SC Heerenveen, een periode in het betaald voetbal en vervolgens een terugkeer naar het amateurvoetbal in Friesland. Daarmee bleef hij gedurende zijn hele carrière verbonden met het voetbal in de regio.
